BspNr: J0011

Newtonverfahren

Die folgende Abbildung beschreibt das Newtonverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen:

Angabe und Fragen:

1. Beschreibe die prinzipielle Vorgangsweise dieser Methode zur Nullstellenberechnung. Welche Voraussetzungen muss die Funktion erfüllen, damit diese Methode angewendet werden kann?
2. Leite eine Formel her, aus der sich das x₂ berechnen lässt, wenn man f(x) und x₁ kennt.
3. Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung einer Nullstelle der Funktion f(x) = x³ - 2x² - 16x + 24 mit Hilfe des Newtonverfahrens auf 3 Dezimalen genau. Ermittle die anderen Nullstellen auf analoge Weise.

   n xn f(xn) f'(xn) xn+1 1 1,000 7,000 -17,000 1,411765 2 1,412 0,239 -15,668 1,427042 3 1,427 0,001 -15,999 1,427076

4. Erstelle ein Ablaufdiagramm (bzw. eine verbale Beschreibung) das die Berechnung einer Nullstelle mit Hilfe des Newtonverfahrens beschreibt.
5. Erstelle ein Programm für den TI-92, das die Nullstellen einer Funktion nach dem Newtonverfahren berechnet. Dem Programm soll ein Startwert und die gewünschte Genauigkeit übergeben werden können. Die Funktion soll nicht dem Programm übergeben werden, sondern vor dem Start des Programms auf die Variable f gespeichert werden.

6. Berechne mit Hilfe deines Programms die Nullstelle der Funktionen im angeführten Intervall mit dem angegebenen Startwert:

   • f 1 ( x )=7 e 0.3⋅( x−1 ) − e 4⋅( x−1 ) +1 ; Intervall [0; 2]; Startwert x₁ = 0,
   • f 2 ( x )= 1 8 ( 8 x 4 −65 x 2 +116 ) ; Intervall [-2; 1]; Startwert x₁ = -2,
   • f 3 ( x )= 1 25 ( x 3 −27x−29 ) ; Intervall [-2; 2]; Startwert x₁ = 2 und
   • f 4 ( x )= x 3 −0.3 x 2 −2.97x−0.701 ; Intervall [1; 2]; Startwert x₁ = 1.

   Lass dir dabei die Näherungswerte für die Nullstelle in jedem Schleifendurchlauf anzeigen. Erkläre die von dir beobachteten Phänomene anhand einer Zeichnung des Funktionsgraphen.

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   © ACDCA, 2002 - Beispielsammlung, Projekt "Technologie im Mathematikunterricht"
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