Stauprobleme

Angabe und Fragen:

Es soll das Verhalten einer Fahrzeugkolonne auf einer einspurigen Fahrbahn untersucht werden. Die Fahrzeuge sollen mit einer konstanten, gleich großen Geschwindigkeit unterwegs sein und einen gleichbleibenden Abstand halten.

Fahrzeugdurchsatz:
Die folgenden Fragen sollen beantwortet werden:

1. Wie viele Fahrzeuge passieren pro Stunde einen bestimmten Punkt auf der Fahrbahn?
2. Hängt der Fahrzeugdurchsatz davon ab, wie die Lenker Abstand halten?
3. Gibt es eine optimale Fahrgeschwindigkeit, bei der eine größtmögliche Fahrzeuganzahl pro Sekunde die Fahrbahn passiert?

Modell 1: Konstanter Fahrzeugabstand
Bei einem konstanten Fahrzeugabstand d und einer Fahrzeuglänge L passieren pro Stunde
d konst (v)= 1000v L+d
Fahrzeuge einen Kontrollpunkt an der Fahrbahn. Die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben.

Modell 2: Abstand gemäß Reaktionsweg
Halten die Lenker einen Abstand zum Vorderfahrzeug ein, der dem Reaktionsweg bei der aktuellen Geschwindigkeit entspricht, so passieren pro Stunde
d Reaktion (v)= 1000v L+ v 3.6
Fahrzeuge den Kontrollpunkt. Die Reaktionszeit der Fahrer ist mit einer Sekunde veranschlagt.

Modell 3: Abstand gemäß Anhalteweg
Das Einhalten nicht nur des Reaktionswegs, sondern sogar des Anhaltewegs als Abstand zum Vorderfahrzeug ergibt eine Anzahl von
d Anhalte (v)= 1000v L+ v 3.6 + ( v/3.6 ) 2 2a
Fahrzeugen pro Stunde. Hier ist a die Verzögerung (üblicherweise 8 m/s² bei guten Bremsen an allen Fahrzeugen), L ist wiederum die Fahrzeuglänge.

Vergleich der Modelle
Nimm typische Werte für die Fahrzeuglänge L (wie lang ist ein PKW?), einen konstanten Abstand d sowie die Verzögerung a und beantworte die Fragen 1) bis 3).

4. Welches Modell ist bei großen Geschwindigkeiten besser, welches bei kleinen?
5. Was sagen die Modelle bei sehr großen Geschwindigkeiten ( v→∞ ) voraus?
6. Wie werden sich Fahrzeuglenker eher verhalten: Einhalten eines konstanten Abstands, eines reaktionswegabhängigen Abstands oder eines anhaltewegabhängigen Abstands?

Stau bei Totalsperre
Unter der Annahme einer Totalsperre der einen benutzten Fahrspur lässt sich ermitteln, wie schnell sich ein Stau aufbaut, wie schnell er sich auflöst oder wie viele Fahrzeuge im Stau stecken.

Staulänge bei einer bestimmten Geschwindigkeit
Abstand gemäß Reaktionsweg
Bei einer Staulänge L_Stau gibt es in diesem Stau
n= L Stau L+ d Stau
Fahrzeuge. Hier ist L die Fahrzeuglänge und d_Stau der Abstand der Fahrzeuge bei Stillstand. Andererseits ist die Anzahl der Fahrzeuge innerhalb der Staulänge auch aus
n= v⋅ t Stau + L Stau L+v⋅ t R
berechenbar. Es ist v die Geschwindigkeit in m/s, t_Stau die Zeit in Sekunden, die die Straße gesperrt ist, und t_R die Reaktionszeit der Fahrer beim Bremsen in Sekunden. Hierin steckt die Annahme, dass ein Fahrzeug, das zum Zeitpunkt der Sperre noch (v ^. t_Stau) Meter entfernt ist, das letzte Ende des Staus innerhalb von t_Stau gerade noch erreicht.
Darüberhinaus halten die Fahrzeuge einen Abstand gemäß Reaktionsweg ein.

7. Berechne, wie lang ein Stau nach einer bestimmten Zeit wird, wenn die Fahrbahn komplett gesperrt ist und alle Fahrzeuge eine konstante Geschwindigkeit hatten.
8. Wie hängt die Staulänge bei einer konstanten Stauzeit (z.B. von einer Stunde) von der Geschwindigkeit der Fahrzeuge ab? Verwende eine Stunde Stauzeit, eine Fahrzeuglänge L von einem Meter, einen Parkabstand d_Stau = 1 m sowie eine Reaktionszeit beim Bremsen t_R = 1 s.
9. Wie sieht die Staulänge für große Fahrgeschwindigkeiten aus? Was passiert, wenn v→∞   geht?

Abstand gemäß Anhalteweg

Wie vorhin ist
n= L Stau L+ d Stau
Allerdings ist jetzt:
n= v⋅ t Stau + L Stau L+v⋅ t R + v 2 2a

10. Berechne die Staulänge in Abhängigkeit von der Staudauer und den anderen Größen.
11. Vergleiche die Staulänge bei konkreten Werten (Aufg. 8, zusätzlich a = 8m/s²) mit der Staulänge des Reaktionsweg-Abstandsmodells.
12. Was sagt dieses Modell für große Geschwindigkeiten voraus?

Aufbau eines Staus
Abstand gemäß Reaktionsweg
Die Aufbaugeschwindigkeit eines Staus berechnet sich aus Staulänge durch Staudauer:
v Aufbau (v)= L Stau (v) t Stau

13. Berechne die Aufbaugeschwindigkeit.
14. Was passiert bei großen Geschwindigkeiten? Von welchen Größen hängt es ab, wie schnell sich ein Stau aufbaut?

Abstand gemäß Anhalteweg

15. Berechne die Aufbaugeschwindigkeit.
16. Was passiert hier bei großen Geschwindigkeiten?

Vergleiche grafisch die Aufbaugeschwindigkeit der beiden Modelle, abhängig von der Geschwindigkeit. Verwende die konkreten Werte aus dem vorigen Abschnitt.