Verkehrsflussdichte

Angabe

Bei sehr starkem Verkehrsaufkommen bildet sich auf der Autobahn Kolonnenverkehr. Alle Autos fahren mit der gleichen Geschwindigkeit v und halten etwa den gleichen Abstand da voneinander ein.
Bei welcher Geschwindigkeit v ist die Anzahl der Autos, die an einer Messstelle pro Stunde vorbeikommen am größten?
Man kann die Überlegung auf eine Spur der Autobahn beschränken. Diese Anzahl an Autos pro Stunde wollen wir als Durchsatz D bezeichnen. Dieser Durchsatz D hängt von mehreren Größen ab:

1. von der Länge der Autos:
   Man soll eine einheitlichen Länge l_a von 5 m pro Auto annehmen.
2. vom Abstand d_a, den die Autos voneinander einhalten:
   Man soll den Abstand mit mehreren verschiedenen Modellen berechnen:
   
   • Modell 1: Der Abstand ist konstant: d_a = 8 m
   • Modell 2: Der Abstand ist gleich dem Reaktionsweg s_r. Dieser ist gleich der Strecke, die das Auto in der Reaktionszeit zurücklegt also v⋅ t r = s r = d a
   • Modell 3: Der Abstand ist gleich dem Bremsweg sb. Dieser berechnet sich aus der Geschwindigkeit v und der Bremsverzögerung a zu: s b = v 2 2⋅a = d a
   • Modell 4: Der Abstand ist gleich dem Anhalteweg s a = s r + s b =v⋅ t r + v 2 2⋅a
3. von der Geschwindigkeit v
4. von der Reaktionszeit t_r des Fahrer:
   - gesetzlich vorgegeben (rund) mit t_r = 1 s
5. und von der Bremsverzögerung a_r der Autos:
   - gesetzlich vorgeschrieben: a = 4 m/s²
   - üblicher Wert: für PKWs: a = 8 m/s², für Rennwagen: a = 40 m/s²

Fragen:

1. Untersuche für alle Modelle des Abstandes d_a, für welche Geschwindigkeit v_max der Durchfluss D am größten ist und in welcher Form diese Geschwindigkeit v_max von der Reaktionszeit t_r und der Bremsverzögerung a abhängt. Beurteile und interpretiere die Ergebnisse!