Teil B: Die Funktion
Funktionen bezeichnen in der Mathematik Zuordnungen,
die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Du trainierst verschiedene
Begriffe, die für das Arbeiten mit Funktionen wichtig sind, und
arbeitest mit einigen Grundtypen von Funktionen.
Notiere Definitionen und wichtige Begriffe in deiner Mitschrift!
Information 1
Abhängigkeiten
Im Alltag, in der Natur und in der Mathematik treten viele
Zusammenhänge auf, in denen zwei Größen voneinander
abhängen.
Der Wasserstand in einer Regentonne hängt von der Niederschlagsmenge ab.
Die zurückgelegte Strecke bei einer Radtour hängt von der Fahrzeit ab.
Die Anzahl der Lehrer/innen an einer Schule hängt von der Anzahl der Klassen ab.
Aufgabe 7
Abhängigkeiten
Ergänze die folgenden Sätze.
Die Anzahl der Badegäste im Freibad hängt von ……..............…. ab.
Der Flächeninhalt eines Quadrats hängt von ……....................…. ab.
Das Volumen eines Würfels hängt von …….............................…. ab.
Information 2
Was ist eine Funktion?
Das Volumen eines Würfels hängt von der Kantenlänge des Würfels ab.
Diese Beziehung kann auf verschiedene Weise beschrieben werden.
V(a) = a3
Sprechweise: V von a ist gleich a3.
Um auszudrücken, dass ein Würfel die Kantelänge 2 hat, kannst du die Variable a durch 2 ersetzen.
Sprechweise: V an der Stelle 2 ist 8.
Solche Abhängigkeiten werden Funktionen genannt.
Text in der Alltagsprache:
Mathematische Sprechweise:
Dabei bezeichnet a die unabhängige Variable und V die abhängige Variable.
Aufgabe 8
Zuordnungsübung: Unabhängige Variablen
Ordne vorgegebenen Texten und Funktionen die entsprechende unabhängige Variable zu!
Information 3
Definition Funktion
| Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. |
Das bedeutet für Abhängigkeiten, die in Worten formuliert werden, dass es stets eine eindeutige Antwort gibt.
Für zahlenmäßige Abhängigkeiten bedeutet es, dass
jedem Wert der unabhängigen Variablen genau eine reelle Zahl
zugeordnet werden kann.
- Jedem Menschen kann eindeutig ein Geburtsdatum zugeordnet werden.
- Jeder Kantenlänge kann eindeutig ein Würfelvolumen zugeordnet werden: V(a) = a3
- Zu einem x-Wert gibt es einen bestimmten y-Wert:
Beispiele für nicht eindeutige Zuordnungen:
- Einem bestimmten Geburtsdatum kann nicht immer eindeutig eine
Person (z. B. innerhalb einer Schule) zugeordnet werden. Es kann
mehrere Personen mit dem gleichen Geburtsdatum geben.
- Zu einem vorgegebenen Volumen eines Quaders kann nicht eindeutig eine bestimmte Höhe angegeben werden.
- Es gibt x-Werte, denen zwei y-Werte zugeordnet sind:
Aufgabe 9
Überlege, ob eindeutige Zuordnungen vorliegen! |
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Information 4
Fachbegriffe
Für das Arbeiten mit Funktionen ist es hilfreich, ein paar Fachbegriffe zu kennen.
|
Beispiel:
f(x) = 2x – 1 x wird als unabhängige Variable (da sie variiert wird) bzw. als Argument bezeichnet. f(x) ist für ein gegebenes x der entsprechende Funktionswert an der Stelle x. f(x) = 2x – 1 ist die Funktionsgleichung. 2x – 1 ist der Funktionsterm. |
Aufgabe 10
Zuordnungsübung: Funktion - Begriffe
Information 5
Festlegen einer Funktion
| Um eine Funktion festzulegen benötigst du: (1) eine Zuordnungsvorschrift, die angibt, wie jedem Element aus der Definitionsmenge eindeutig ein Element aus der Zielmenge zugeordnet wird, (2) eine Menge A, der die Werte der unabhängigen Variablen entnommen werden (Definitionsmenge), (3) eine Menge B, in der alle Funktionswerte liegen (Zielmenge). Anmerkung: Die Wertemenge entspricht genau der Menge aller Funktionswerte. Sie ist eine Teilmenge der Zielmenge. Die Zielmenge kann auch Elemente enthalten, die nicht als Funktionswerte auftreten. |
Eine Funktion wird auf folgende Weise definiert.
(1) Zuordnungsvorschrift: Quadriere die Zahl!
(2) Definitionsmenge = Menge der ganzen Zahlen
(3) Zielmenge = Menge der ganzen Zahlen
Anm.: Wertemenge = Menge der natürlichen Zahlen
Für mathematische Zwecke wird die Zuordnung mit einem Namen
bezeichnet, zum Beispiel f. Mithilfe eines Zuordnungspfeiles wird
ausgedrückt, dass die Elemente der Zielmenge B den Elementen der
Definitionsmenge A zugeordnet werden.
| Schreibweise f: A → B |
Sprechweise Funktion f von A nach B |
|
Schreibweise
|
Sprechweise
Funktion f von R nach R |
Definition Reelle Funktion
| Wenn die Definitionsmenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist und reelle Zahlen als die Funktionswerte auftreten, heißt die Funktion eine reelle Funktion. |
Die Zuordnungsvorschrift f
beschreibt, wie für jedes Element x aus der Menge A der
zugehörige Funktionswert f(x) ermittelt wird. In der Mathematik
wird diese Vorschrift gerne durch einen Term angegeben. Für die
Zuordnung der Elemente wird als Symbol der Pfeil 
benutzt.
| Schreibweisen |
|
| f(x) = x2 | oder f: x x2 |
Sprechweisen |
|
| Funktion f von x gleich x Quadrat |
oder Funktion f mit x wird abgebildet auf x Quadrat |
Aufgabe 11
Festlegen einer Funktion
Übertrage
die Beschreibung der Funktion in mathematische Schreibweise, indem du
Definitions- und Zielmenge sowie die Zuordnungsvorschrift auf zwei
Arten angibst.
b) Eine Funktion u gibt für ein Quadrat zu einer Seitenlänge s von 1 bis 10 den entsprechenden Umfang an.
c) Eine Funktion g ordnet jeder negativen reellen Zahl ihren Betrag zu.
Aufgabe 12
Funktionen beschreiben
Gib die vollständige Definition der Funktion in Worten an.
Information 6
Darstellungsformen von Funktionen
Abhängigkeiten können auf verschiedene Arten beschrieben werden.
Aufgabe 13
Lückentext: Darstellungsform Funktionsgraph
Ergänze
den Lückentext mithilfe der Abbildung und übertrage
anschließend Grafik und Text in deine Mitschrift.
Aufgabe 14
Flächeninhalt eines Quadrats
Der
Flächeninhalt eines Quadrates hängt von der jeweiligen
Seitenlänge ab. Stelle diesen Zusammenhang auf folgende Arten dar.
b) Gib Funktionsterm und Funktionsgleichung sowie Definitions- und Zielmenge an.
c) Übertrage die Definition der Funktion in mathematische Sprechweise (Wortformel).
d) Lege eine Tabelle für die Seitenlängen 0,5; 1; 2 und 3 an.
e) Zeichne den Funktionsgraphen.
Aufgabe 15
Mindmap Funktion
Erstelle eine Mindmap zum Thema „Funktion“.