Direkte Proportionalität

Notiz Halte die wichtigsten Informationen in deiner Mitschrift fest!

Information 7
Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität (ein direktes Verhältnis) zweier Größen x und y liegt vor,

wenn sich bei einer Verdopplung von x auch y verdoppelt,
wenn sich bei einer Verdreifachung von x auch y verdreifacht,
wenn bei einer Halbierung von x auch y halbiert wird,
wenn dem n-Fachen von x auch das n-Fache von y entspricht.

Aufgabe 16
Nüsse

Eine Packung Nüsse kostet 2 Euro.
Die Anzahl n der Packungen und die Kosten K stehen im direkten Verhältnis.
Die Anzahl n der Packungen und die Kosten K  sind direkt proportional.
Die entsprechende Funktion lautet:
K: N → R mit K(n)=2n

a) Begründe die Wahl der Definitionsmenge und den Funktionsterm.
b) Erstelle eine Tabelle und zeige, dass ein direktes Verhältnis vorliegt.
c) Zeichne den Funktionsgraphen.

Information 8
Merkmale direkter Proportionalität

(1) Für entsprechende Werte x1 und x2 bzw. y1 und y2 zweier Größen x und y gilt:
                                x1 : y1 = x2 : y2 

(2) Dem n-Fachen von x entspricht das n-Fache von y.

(3) Die Funktionsgleichung hat die Form
                                f(x) = k · x ,         
      wobei die reelle Zahl k Proportionalitätsfaktor heißt (k ≠ 0).

(4) Der Funktionsgraph ist eine Gerade und geht durch den Ursprung.
Anmerkungen
zu (1):  x1, y1, x2 bzw. y2 muss von 0 verschieden sein, da in diesen Fällen die Verhältnisgleichung nicht sinnvoll ist.
zu (3): Der Proportionalitätsfaktor k muss von 0 verschieden sein, da für alle x-Werte f(x) = 0 gilt und die Verhältnisgleichung  x1 : 0 = x2 : 0  nicht sinnvoll ist.

Aufgabe 17
Interaktive Übung: Direkte Proportionalität

Vervollständige die Tabelle und gib den entsprechenden Proportionalitätsfaktor an.

Aufgabe 18
Interaktive Übung: Radfahrer-Aufgabe

Passend zur Angabe sind jeweils der Zusammenhang Fahrzeit – Wegstrecke grafisch darzustellen und Werte abzulesen.

Aufgabe 19
Dynamisches Arbeitsblatt mit GeoGebra: Direktes Verhältnis grafisch darstellen 

Zeichne mit GeoGebra den entsprechenden Graphen. Stelle eine Funktionsgleichung auf und gib den Proportionalitätsfaktor an.

a) Eine Packung kostet 2,50 Euro. Stelle den Zusammenhang Anzahl der Packungen – Preis grafisch dar.
b) Eine Läuferin legt einen Kilometer in 4 Minuten zurück. Stelle den Zusammenhang Strecke – Zeit grafisch dar.  


Aufgabe 20
Lernpfad: Marathonbeispiel 

Du brauchst mehr Übung?
Anhand des Lernpfades kannst du direkte Proportionalität genauer wiederholen.
Deine Antworten hältst du in deiner Mitschrift fest. (Nicht wie in den Übungen angegeben per E-Mail abschicken!)
Marathon 1: Fülle die Wertetabelle aus. Wie wird direkte Proportionalität mithilfe der Wertetabelle nachgewiesen?
Marathon 2: Erarbeite den Zusammenhang Weg - Zeit. Wie wird direkte Proportionalität mithilfe einer Formel nachgewiesen?
Marathon 3: Berechne mithilfe der Formel die gesuchten Werte. Die Übung geht auf Zeit. Du hast 10 Minuten zur Verfügung.
Marathon 4: Welche Bedeutung hat der Quotient Weg/Zeit?
Marathon 6: Wie sieht der Graph bei einem direkten Verhältnis aus?

Quelle: http://www.mathe-online.at (Andrea Kalliauer)