Orientierter Flächeninhalt

Das bestimmte Integral einer Funktion f ist also eigentlich nicht der Flächeninhalt, den diese Funktion mit der x-Achse einschließt, sondern die Summe der positiven Flächeninhalte über der x-Achse und der "negativen" Flächeninhalte unter der x-Achse. Dadurch entspricht der Wert des bestimmten Integrals nicht dem tatsächlich eingeschlossenen Flächeninhalt.  Man spricht in diesem Zusammenhang von orientierten Flächeninhalten. Dies soll die Abbildung rechts veranschaulichen.


Überlege dir, wie man vorgehen muss, wenn man den gesamten Flächeninhalt berechnen möchte, den die Funktion f (Abbildung rechts) mit der x-Achse in einem Intervall [a, b] einschließt?
Lösung: Möchte man diesen Flächeninhalt berechnen, so muss man sich die Nullstellen der Funktion im Intervall [a,b] ausrechnen und anschließend die Flächeninhalte zwischen diesen Nullstellen mittels bestimmten Integralen berechnen. Anschließend addiert man die Flächeninhalte, wobei man von den "negativen" Flächeninhalten (von Flächen unter der x-Achse) jeweils den Betrag nimmt.