Lineares Wachstum und exponentielles Wachstum im Vergleich


Beispiel
Welches Angebot ist besser?

Deine Oma ist die beste – sie unterstützt dich seit Jahren fleißig, indem sie dein Taschengeld immer wieder aufbessert. Mit 14 Jahren, so meint sie, muss jetzt Regelmäßigkeit einkehren. Großzügig lässt dir deine Oma die Wahl.
(A) Du bekommst an deinem 14. Geburtstag 80 € und von da an bis zum 18. Geburtstag jedes Monat um 4 € mehr.
(B) Du bekommst an deinem 14. Geburtstag 80 € und von da an bis zum 18. Geburtstag jedes Monat um 4% mehr.

Dabei handelt es sich um zwei grundsätzlich verschiedene Angebote.
Angebot A – Das Taschengeld wächst um einen konstanten Betrag.
Angebot B – Das Taschengeld wächst um einen bestimmten Prozentsatz.

Information 14
Angebot A

Das Angebot A lässt sich mit einer linearen Funktion mit konstantem Anstieg um 4 € pro Monat beschreiben.
Das entspricht einem konstanten Zuwachs um 4 € pro Monat.
Der passende Funktionsterm hat die Form
f(x) = k∙x + d.

Aufgabe 38
Angebot A

a) Überlege für das Angebot A, welche Werte den Variablen k und d entsprechen.
b) Wie lautet der Funktionsterm?
c) Wie lautet der Funktionsterm, wenn das Taschengeld von ursprünglich 60 € um 5 € pro Monat erhöht wird?

Lösung:

Information 15
Angebot B

Dem Angebot B liegt eine völlig andere mathematische Funktion zugrunde. Hier steigt das Taschengeld nicht um einen konstanten Betrag pro Monat, sondern um einen konstanten Prozentsatz pro Monat. Die Funktionswerte lassen sich folgendermaßen berechnen.

nach einem Monat:


nach zwei Monaten:


nach drei Monaten:


Der passende Funktionsterm für x Monate hat die Form
c  

Angebot B entspricht einer Funktion mit einem Zuwachs um 4 % pro Monat. Das ursprüngliche Kapital verändert sich pro Monat um den Faktor 1,04.
Der passende Funktionsterm hat die Form 
f(x)=c.a^x
Da die Variable im Exponenten des Funktionsterms steht, spricht man von exponentiellem Wachstum.

Aufgabe 39
Angebot B

a) Überlege für das Angebot B, welche Werte den Variablen c und a entsprechen.
b) Wie lautet der Funktionsterm?
c) Wie lautet der Funktionsterm, wenn das Taschengeld von ursprünglich 60 € um 5% pro Monat erhöht wird?

Lösung:

Aufgabe 40
Für welches Angebot entscheidest du dich?

Da du in nächster Zeit viele Wünsche hast, interessiert dich vorerst das kommende Jahr.
Berechne das Taschengeld nach beiden Vorschlägen für die ersten 12 Monate.
Angebot A: 80,00 80 + 4 = 84,00 84 + 4 = 88,00 ...
Angebot B: 80,00 80∙1,04=83,20 83,20∙1,04=86,53 ...

Vervollständige dazu die Tabelle und stelle die berechneten Werte in einem Koordinatensystem dar. Beschreibe den Verlauf der Werte in den ersten 12 Monaten. Welches Angebot deiner Oma erscheint dir besser?


Aufgabe 41
Langfristiger Vergleich

Wie sehen die Angebote deiner Oma im 2., 3. bzw. 4. Jahr aus?
a) Erstelle vorerst eine Wertetabelle und zeichne anschließend den Graphen.
b) Stelle sowohl Angebot A als auch Angebot B als Funktion dar.
Du kannst dazu das dynamische Arbeitsblatt Vergleich der Angebote verwenden.

Aufgabe 42
Lineares oder exponentielles Wachstum?

Liegt lineares oder exponentielles Wachstum oder keines von beidem vor? Begründe.
(1) Kapitalwachstum bei Anlage mit Zinseszins
(2) Handytarif mit Grundgebühr und sekundengenauer Abrechnung
(3) Fortgesetzte Verdopplung eines Wetteinsatzes
(4) Gesamtkosten einer Produktionsmaschine mit Anschaffungskosten und laufenden Material- und Wartungskosten

Aufgabe 43

Notiz  Stelle lineares und exponentielles Wachstum einander gegenüber.