Teil B: Die Funktion

Funktionen bezeichnen in der Mathematik Zuordnungen, die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Du trainierst verschiedene Begriffe, die für das Arbeiten mit Funktionen wichtig sind, und arbeitest mit einigen Grundtypen von Funktionen.

Notiz Notiere Definitionen und wichtige Begriffe in deiner Mitschrift!

Information 1
Abhängigkeiten

Im Alltag, in der Natur und in der Mathematik treten viele Zusammenhänge auf, in denen zwei Größen voneinander abhängen.

Beispiele:
Der Wasserstand in einer Regentonne hängt von der Niederschlagsmenge ab.
Die zurückgelegte Strecke bei einer Radtour hängt von der Fahrzeit ab.
Die Anzahl der Lehrer/innen an einer Schule hängt von der Anzahl der Klassen ab.


Aufgabe 7
Abhängigkeiten

Notiz Ergänze die folgenden Sätze.

Die Kosten für SMS hängen von .................................................... ab.
Die Anzahl der Badegäste im Freibad hängt von ……..............…. ab.
Der Flächeninhalt eines Quadrats hängt von ……....................…. ab.
Das Volumen eines Würfels hängt von …….............................…. ab.


Information 2
Was ist eine Funktion?

Das Volumen eines Würfels hängt von der Kantenlänge des Würfels ab.
Diese Beziehung kann auf verschiedene Weise beschrieben werden.

V = a3 
V(a) =  a3 
Sprechweise: V von a ist gleich a3.

Um auszudrücken, dass ein Würfel die Kantelänge 2 hat, kannst du die Variable a durch 2 ersetzen.

V(2) = 23 = 8
Sprechweise: V an der Stelle 2 ist 8.

Solche Abhängigkeiten werden Funktionen genannt.

Text in der Alltagsprache:

Das Volumen eines Würfels hängt von der Kantenlänge des Würfels ab.

Mathematische Sprechweise:

V ist eine Funktion von a.

Dabei bezeichnet a die unabhängige Variable und V die abhängige Variable.

Aufgabe 8
Zuordnungsübung: Unabhängige Variablen

Ordne vorgegebenen Texten und Funktionen die entsprechende unabhängige Variable zu!

Information 3
Definition

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

Das bedeutet für Abhängigkeiten, die in Worten formuliert werden, dass es stets eine eindeutige Antwort gibt.
Für zahlenmäßige Abhängigkeiten bedeutet es, dass jedem Wert der unabhängigen Variablen genau eine reelle Zahl zugeordnet werden kann.

Beispiele für eindeutige Zuordnungen:
- Jedem Menschen kann eindeutig ein Geburtsdatum zugeordnet werden.
- Jeder Kantenlänge kann eindeutig ein Würfelvolumen zugeordnet werden: V(a) = a3
- Zu einem x-Wert gibt es einen bestimmten y-Wert:

Beispiele für nicht eindeutige Zuordnungen:
- Einem bestimmten Vornamen kann im Allgemeinen in einer Schule nicht eindeutig eine Person zugeordnet werden.
- Zu einem vorgegebenen Volumen eines Quaders kann nicht eindeutig eine bestimmte Höhe angegeben werden.
- Es gibt x-Werte, denen zwei y-Werte zugeordnet sind:




Aufgabe 9
Quiz: Eindeutige Zuordnung

Überlege, ob eindeutige Zuordnungen vorliegen!

Information 4
Fachbegriffe

Für das Arbeiten mit Funktionen ist es hilfreich, ein paar Fachbegriffe zu kennen.

Beispiel:
f(x) = 2x – 1

x wird als unabhängige Variable (da sie variiert wird) bzw. als Argument bezeichnet.
Ein bestimmter Zahlenwert für x heißt Stelle.
f(x) ist für ein gegebenes x der entsprechende Funktionswert an der Stelle x.
f(x) = 2x – 1 ist die Funktionsgleichung.
2x – 1 ist der Funktionsterm.


Aufgabe 10
Zuordnungsübung: Funktion


Information 5
Festlegen deiner Funktion

Um eine Funktion festzulegen benötigst du:
(1) eine Zuordnungsvorschrift, die angibt, wie jedem Element aus der Definitionsmenge eindeutig ein Element aus der Zielmenge zugeordnet wird,
(2) eine Menge A, der die Werte der unabhängigen Variablen entnommen werden (Definitionsmenge),
(3) eine Menge B, in der alle Funktionswerte liegen (Zielmenge).

Beispiel:
Eine Funktion wird auf folgende Weise definiert.
(1) Zuordnungsvorschrift:   Quadriere die Zahl!
(2) Definitionsmenge          = Menge der ganzen Zahlen
(3) Zielmenge                     = Menge der ganzen Zahlen

Für mathematische Zwecke wird die Zuordnung mit einem Namen bezeichnet, zum Beispiel f. Mithilfe eines Zuordnungspfeiles wird ausgedrückt, dass die Elemente der Zielmenge B den Elementen der Definitionsmenge A  zugeordnet werden.

Beispiel:
Schreibweise
f: A → B
Sprechweise
Funktion f von A nach B

Schreibweisef: R -> R

Sprechweise
Funktion f von R nach R

Definition
Reelle Funktion

Wenn die Definitionsmenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist und reelle Zahlen als die Funktionswerte  auftreten, heißt die Funktion eine reelle Funktion.

Die Zuordnungsvorschrift f beschreibt, wie für jedes Element x aus der Menge A der zugehörige Funktionswert f(x) ermittelt wird. In der Mathematik wird diese Vorschrift gerne durch einen Term angegeben. Für die Zuordnung der Elemente wird als Symbol der Pfeil  -> benutzt.

Beispiel:
Schreibweisen

f(x) = x2    oder      f: x ->x2

Sprechweisen
Funktion f von x gleich x Quadrat
oder    Funktion f mit x wird abgebildet auf x Quadrat

Aufgabe 11
Festlegen einer Funktion

Notiz Übertrage die Beschreibung der Funktion in mathematische Schreibweise, indem du Definitions- und Zielmenge sowie die Zuordnungsvorschrift auf zwei Arten angibst.

a) Eine Funktion f ordnet jeder natürlichen Zahl ihr Doppeltes zu.
b) Eine Funktion u gibt zu einer Seitenlänge s  von 1 bis 10 den entsprechenden Umfang an.
c) Eine Funktion g ordnet jeder negativen reellen Zahl ihren Betrag zu.


Aufgabe 12
Funktionen beschreiben

Notiz Gib die vollständige Definition der Funktion in Worten an.

a) h: N->R mit x->Wurzel aus x; b) A:R->R mit r->r^2*pi; c) f:R->R mit f(x)=-x

Information 6
Darstellungsformen von Funktionen

Abhängigkeiten können auf verschiedene Arten beschrieben werden.

Text (Wortformel), Formel, Term, Tabelle, Graph

Aufgabe 13
Lückentext: Darstellungsform Funktionsgraph

Notiz Ergänze den Lückentext mithilfe der Abbildung und übertrage anschließend Grafik und Text in deine Mitschrift.

Aufgabe 14
Flächeninhalt eines Quadrats

Notiz Der Flächeninhalt eines Quadrates hängt von der jeweiligen Seitenlänge ab. Stelle diesen Zusammenhang auf folgende Arten dar.

a) Wähle geeignete Variablen und gib eine entsprechende Formel an.
b) Gib Funktionsterm und Funktionsgleichung sowie Definitions- und Zielmenge an.
c) Übertrage die Definition der Funktion in mathematische Sprechweise (Wortformel).
d) Lege eine Tabelle für die Seitenlängen 0,5; 1; 2 und 3 an.
e) Zeichne den Funktionsgraphen.


Aufgabe 15
Mindmap

Notiz Erstelle eine Mindmap zum Thema „Funktion“.