Definition Unter- und Obersumme einer Funktion

Du siehst hier wieder den Graphen der Funktion f(x) aus der vorherigen Übung, sowie die jeweils n Rechtecke der Untersumme und Obersumme in einem Intervall [a, b]. 

Sowohl die Untersumme, als auch die Obersumme bestehen aus Rechtecken, die alle die gleiche Breite  haben. Die Rechtecke der Untersumme haben den kleinsten Funktionswert f(xmin) im jeweiligen Teilintervall als Höhe. Daher ist der Flächeninhalt aller Rechtecke der Untersumme insgesamt sicher kleiner als die Fläche A, die Fläche unter der Funktion f im Intervall [a, b]. Die Rechtecke der Obersumme haben den größten Funktionswert f(xmax) im jeweiligen Teilintervall als Höhe. Der Flächeninhalt aller Rechtecke der Obersumme ist insgesamt also sicher größer als die Fläche A. Je größer die Anzahl n der Rechtecke wird, umso genauer werden Ober- und Untersumme und umso kleiner wird deren Differenz. Es gilt aber immer: Untersumme U ≤ Fläche A ≤ Obersumme O Überprüfe dies, indem du den Wert der Fläche A einblendest und sowohl die Intervallgrenzen, als auch die Anzahl n der Rechtecke veränderst.

Bei dieser Definition steht Δx für die Breite der Rechtecke, f(x_i,min) für den niedrigsten Funktionswert im i-ten Teilntervall und f(x_i,max) für den größten Funktionswert im i-ten Teilintervall. Das Symbol heißt Summenzeichen und wird als Abkürzung verwendet.