Konstantes und prozentuelles Bakterienwachstum

Vergleiche die beiden Darstellungen für konstantes und prozentuelles Wachstum bei unterschiedlichem Wachstumsfaktor p.
Konstantes Wachstum

Bei einem konstanten Wachstum mit dem Faktor p kommen in jeder Stunde eine gleich bleibende Anzahl von B0·p/100 zur ursprünglichen Anzahl der Bakterien B0 hinzu.
Die Vermehrung in den weiteren Stunden wird immer nur von der ursprünglichen Bakterienanzahl B0 aus berechnet.

 Prozentuelles Wachstum

Bei einem prozentuellem  Wachstum nimmt die Anzahl der Bakterien in jeder Stunde um einen bestimmten Prozentsatz  p der Anzahl in der vorangegangenen Stunde zu, d. h. die Bakterienanzahl B0 wird in jeder Stunde mit (1+ p/100) multipliziert.
Aufgabe
  • Verändere den Faktor p bei beiden Wachstumsmodellen und beobachte die jeweilige Veränderung der Bakterienanzahl in den folgenden n Stunden.
    Zu Beginn sind 10 Bakterien vorhanden.
  • Bei welchem Wachstum nimmt die Anzahl der Bakterien schneller zu?
    Notiere deine Ergebnisse.


© Medienvielfalt und Mathematik-digital 2011, erstellt mit GeoGebra


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Die beiden Formeln für die Zunahme der Bakterienanzahl sind eigentlich nur für ganze Stunden (n ∈ N) anwendbar.
Der Graph für die Bakterienanzahl nach n ganzen Stunden besteht deshalb aus einzelnen Punkten.

Näherungsweise kannst du aber auch mit einem Exponenten x ∈ R arbeiten und die Bakterienanzahl beispielsweise zum Zeitpunkt x = 1,75 Stunden berechnen.
Der Graph für die Bakterienanzahl nach einer beliebigen Zeitspanne x besteht in diesem Fall aus einer durchgehenden Kurve.

Diese kontinuierliche Entwicklung kannst du über das Kontrollkästchen ein- bzw. ausschalten.
Aufgabe:
a) Beschreibe das Anwachsen der Bakterienanzahl in beiden Fällen mit eigenen Worten.
b) Berechne ausgehend von B0 = 10 die Bakterienanzahl nach 4 Stunden bei einem Faktor von p = 75 %  für
    (1) konstantes Wachstum   und   (2) prozentuelles  Wachstum.
Lösung  ausblenden 
a) Im Fall des konstanten Wachstums entwickelt sich die Bakterienanzahl entsprechend einer linearen Funktion; bei prozentuellem  Wachstum steigt die Anzahl stärker an - die Zunahme erfolgt nicht linear.
b) (1) B4 = 40;    (2) B4 ≈ 94
Das Anwachsen der Bakterienanzahl nach der Formel B(x) = B0·(1+p/100)x beschreibt die Funktionsgleichung für einen neuen Funktionstyp. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.
 
Definition:

Die Funktion f: R → R, f(x) = c·ax  (c ∈ R+\{0}, a ∈ R+)  heißt Exponentialfunktion zur Basis a.