Differentialquotient - Übung 1

Übung 1a

Wir wollen die Steigung der Tangente an f(x) = 2 x2 an der Stelle x0 = 1 berechnen. Das rechte Fenster zeigt diese Situation:
  • Mache den Wert von h immer kleiner, indem du im rechten Fenster den roten Punkt nahe zu x0 = 1 ziehst. Beobachte dabei die Steigung der Sekante (den Wert des Differenzenquotienten).

  • Für den Fall h = 0 ist der Differenzenquotient undefiniert. Daher verwenden wir den Grenzwert für h → 0, also den Differentialquotienten f'(1) an der Stelle x0 = 1. 

  • Mit Hilfe des Differentialquotienten bekommen wir also die Tangentensteigung. Wie man den Differentialquotienten konkret berechnet, siehst du in der folgenden Anleitung.
Wir berechnen jetzt den Differentialquotienten f'(1) für die Funktion f(x) = 2 x2. Damit bekommen wir die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = 2 x2 an der Stelle x0 = 1. Vollziehe alle Schritte nach, indem du jeweils rechts auf den blauen Pfeil klickst.

Laut Definition ist der Differentialquotient:
in f einsetzen:
Klammer quadrieren:
Klammer ausmultiplizieren:
h herausheben:
durch h kürzen:
Grenzwert für h → 0:
Lösung: Die Steigung der Tangente an f(x) = 2 x2 an der Stelle 1 ist 4.

Übung 1b

Bestimme die Steigung der Tangente an f(x) = 2 x2 an der Stelle 2 so wie in Übung 1a in deinem Heft.

Übung 1c

Hier siehst du, wie die Steigung der Tangente an f(x) = 2 x2 allgemein für eine Stelle x0 berechnet wird. Vollziehe alle Schritte dieses Beispiels nach, indem du jeweils rechts auf den blauen Pfeil klickst.
Laut Definition ist der Differentialquotient:
in f einsetzen:
Klammer quadrieren:
Klammer ausmultiplizieren:
zusammenfassen:
h herausheben:
kürzen:
Grenzwert für h → 0:
Lösung: Die Steigung der Tangente von f(x) = 2 x2 für eine gegebene Stelle x0 ist f'(x0) = 4 x0.

Übung 1d

  • Berechne die Steigung der Tangente an f(x) mit Hilfe des Ergebnisses von Übung 1c an mindestens drei Stellen in deinem Heft.

  • Überprüfe deine Ergebnisse, indem du im rechten Fenster die Stelle x0 mit der Maus einstellst.

  • Hast du in Übung 1b richtig gerechnet?
 

© M. Hohenwarter, 2005, erstellt mit GeoGebra