Probleme mit der Definition der Tangente
Ein Definitionsversuch für die Tangente an einen Funktionsgraphen könnte sein:
- "Die Tangente hat mit dem Funktionsgraphen nur einen Punkt
gemeinsam."
Diese Eigenschaft ist
nicht gut geeignet, um die
Tangente an
einen Funktionsgraphen zu definieren. Die folgenden beiden
Beispiele zeigen, dass sie weder notwendig noch hinreichend
für eine Tangente ist.
1. Gegenbeispiel
Ziehe im rechten
Fenster die Gerade g
nach links und rechts.
- Die Gerade g
hat mit dem Funktionsgraphen von f
nur einen Punkt gemeinsam, ist aber keine Tangente.
- Die Eigenschaft "nur ein Punkt gemeinsam" ist daher nicht hinreichend
für eine Tangente an einen Funktionsgraphen.
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2. Gegenbeispiel
Ziehe im rechten
Fenster den Punkt T
entlang des Funktionsgraphen.
- Die Gerade t
ist eine Tangente, schneidet den Funktionsgraphen aber in vielen
Fällen in zwei Punkten.
- Die Eigenschaft "nur ein Punkt gemeinsam" ist daher nicht notwendig für
eine Tangente an einen Funktionsgraphen.
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Wie können wir die Tangente definieren?
"Die Tangente hat mit dem Funktionsgraphen nur einen Punkt
gemeinsam." wollen wir also nicht als Definition für die Tangente an einen Funktionsgraphen verwenden.
- Im rechten Fenster siehst du die Tangente an eine Funktion. Du kannst wieder den
Punkt T
ziehen und
bekommst dabei die Tangente und ihre Steigung k angezeigt.
Diese Steigung wollen wir für die Definition der Tangente
verwenden. Wie bekommen wir aber die Steigung der Tangente? Die Antwort
findest du im Abschnitt zum Differentialquotienten.
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©
M.
Hohenwarter und G. Jauck, 2005, erstellt
mit GeoGebra |