Probleme mit der Definition der Tangente

Ein Definitionsversuch für die Tangente an einen Funktionsgraphen könnte sein: Diese Eigenschaft ist nicht gut geeignet, um die Tangente an einen Funktionsgraphen zu definieren. Die folgenden beiden Beispiele zeigen, dass sie weder notwendig noch hinreichend für eine Tangente ist.

1. Gegenbeispiel

Ziehe im rechten Fenster die Gerade g nach links und rechts.
  • Die Gerade g hat mit dem Funktionsgraphen von f nur einen Punkt gemeinsam, ist aber keine Tangente.
  • Die Eigenschaft "nur ein Punkt gemeinsam" ist daher nicht hinreichend für eine Tangente an einen Funktionsgraphen.

2. Gegenbeispiel

Ziehe im rechten Fenster den Punkt T entlang des Funktionsgraphen.
  • Die Gerade t ist eine Tangente, schneidet den Funktionsgraphen aber in vielen Fällen in zwei Punkten.
  • Die Eigenschaft "nur ein Punkt gemeinsam" ist daher nicht notwendig für eine Tangente an einen Funktionsgraphen.

Wie können wir die Tangente definieren?

"Die Tangente hat mit dem Funktionsgraphen nur einen Punkt gemeinsam." wollen wir also nicht als Definition für die Tangente an einen Funktionsgraphen verwenden.
  • Im rechten Fenster siehst du die Tangente an eine Funktion. Du kannst wieder den Punkt T ziehen und bekommst dabei die Tangente und ihre Steigung k angezeigt.
Diese Steigung wollen wir für die Definition der Tangente verwenden. Wie bekommen wir aber die Steigung der Tangente? Die Antwort findest du im Abschnitt zum Differentialquotienten.
© M. Hohenwarter und G. Jauck, 2005, erstellt mit GeoGebra