Notendurchschnitt

In den vorigen Klassen hast du bereits gelernt, den "Mittelwert" zu berechnen und du hast auch ganz bestimmt schon mehrere Male deinen "Notendurchschnitt" berechnet.

• Beschreibe mit eigenen Worten, wie du deinen Notendurchschnitt berechnet hast!
• Beschreibe mithilfe einer Formel, wie du deinen Notendurchschnitt berechnet hast!

Mittelwert von 2 Zahlen   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Was ist der Mittelwert?

auf und wähle die Einstellung "Mittelwert von 2 Zahlen"!

• Ermittle mithilfe dieses Tools den Mittelwert der Zahlen 0.2 und 1.6.
  Überprüfe das Resultat durch eine Rechnung!
• Ermittle mithilfe dieses Tools den Mittelwert der Zahlen 0.5 und 0.6.
  Überprüfe das Resultat durch eine Rechnung!
• Ermittle mithilfe dieses Tools den Mittelwert der Zahlen -0.5 und 0.5.
  Überprüfe das Resultat durch eine Rechnung!
• Ermittle mithilfe dieses Tools den Mittelwert der Zahlen 0.5 und 2.
  Wie groß ist der Abstand der beiden Zahlen vom Mittelwert?
• Wähle nun selbstständig drei beliebige Zahlpaare, ermittle den Mittelwert dieser Paare mithilfe des Tools und überprüfe das Resultat durch Rechnung!
  Was kannst du nun über den Abstand der Paare vom Mittelwert sagen?
• Überzeuge dich nun durch weitere Beispiele davon, dass der Mittelwert zweier Zahlen von jeder dieser beiden Zahlen den gleichen Abstand hat!
• Wie groß ist der Mittelwert zweier gleich großer Zahlen?

Mittelwert von 3 Zahlen   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Was ist der Mittelwert?

auf und wähle die Einstellung "Mittelwert von 3 Zahlen"!

• Ermittle mithilfe dieses Tools den Mittelwert der Zahlen -0.8, 0.2 und 1.8.
  Überprüfe das Resultat durch eine Rechnung!
• Wie musst du die mittlere der drei Zahlen wählen, damit sie mit dem Mittelwert aller drei Zahlen übereinstimmt?
• Für die Arbeit in einer 3er-Gruppe: Messt eure Körpergrößen (in Meter) und ermittelt mithilfe dieses Tools eure mittlere Körpergröße!

Mittelwert von 4 Zahlen   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Was ist der Mittelwert?

auf und wähle die Einstellung "Mittelwert von 4 Zahlen"!

• Stelle mit drei der Zeiger die Zahlen 0.3, 0.4 und 0.5 ein und beobachte, wie der Mittelwert von der vierten Zahl abhängt!
• Stelle drei der Zeiger auf die Zahl 0.4 ein (sie liegen dann übereinander) und verändere die vierte Zahl beliebig.
  Kannst du mit einfachen Worten beschreiben, wo der Mittelwert der vier Zahlen liegt?
• Stelle die vier Zeiger so ein, dass sie den Mittelwert 0 haben! Kannst du zwei verschiedene Einstellungen mit Mittelwert 0 angeben?
• Für die Arbeit in einer 4er-Gruppe: Messt eure Körpergrößen (in Meter) und ermittelt mithilfe dieses Tools eure mittlere Körpergröße!

Mittelwert von 5 Zahlen   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Was ist der Mittelwert?

auf und wähle die Einstellung "Mittelwert von 4 Zahlen"!

• Überzeuge dich durch einige Beispiele davon, dass der Mittelwert nie kleiner als die kleinste und nie größer als die größte der Zahlen ist, aus denen er gebildet wird!
• Stelle mit den fünf Zeigern die Zahlen 0, 0.5, 1, 1.5 und 2 ein! Wie groß ist der Mittelwert? Verändere die Einstellung der fünf Zeiger so, dass der Mittelwert erhalten bleibt. Wie viele solcher Einstellungen findest du? Beschreibe deine Überlegungen mit einfachen Worten!
• Wähle für vier Zeiger eine Einstellung zwischen 1 und 1.5 und verändere die fünfte Zahl beliebig! Beobachte die entsprechende Veränderung des Mittelwertes und schreibe deine Beobachtung mit einfachen Worten auf!
• Für die Arbeit in einer 5er-Gruppe: Messt eure Körpergrößen (in Meter) und ermittelt mithilfe dieses Tools eure mittlere Körpergröße!

Formel: Mittelwert (arithmetisches Mittel, Durchschnittswert)

In der ersten Aufgabe hast du die Formel für die Berechnung des Mittelwertes (= arithmetisches Mittel) bereits verbal formuliert und versucht, sie in mathematischer Schreibweise anzugeben. Hier wird die Formel nochmals ausführlich entwickelt. Versuche, jeden Schritt zu verstehen, und präge dir die Formel gut ein! Schreibe die Formeln auf!

Der Mittelwert zweier Zahlen a und b ist definiert als

Der Mittelwert dreier Zahlen a, b und c ist definiert als

Formuliere eine analoge Formel für den Mittelwert von fünf Zahlen!

Der Mittelwert von n Zahlen x₁, x₂, x₃,... x_n ist definiert als

Beachte: Der Mittelwert wird auch manchmal mit anderen Buchstaben (wie m oder m) bezeichnet.

Übungsaufgaben   

1. Die folgende Tabelle zeigt die Einnahmen eines Kinos während einer bestimmten Woche:
   

   Mo	Di	Mi	Do	Fr	Sa	So
   290 €	150 €	135 €	210 €	280 €	325 €	300 €

   
   a.) Berechne die durchschnittlichen Einnahmen des Kinos während dieser Woche!
   b.) Du kennst bestimmt die Preise für Kinokarten. Kannst du abschätzen, wie viele Kinokarten ungefähr in dieser Woche verkauft wurden?
    
2. In einem Kaufhaus wurden aus den Kundendaten die Entfernungen der Kunden zum Wohnort ermittelt.
   a.) Was bedeutet das arithmetische Mittel der Entfernungen?
   b.) Welcher Schluss kann gezogen werden, wenn der Mittelwert der Entfernungen 13,7 km beträgt?
    
3. Ein neues Gesetz verschafft allen Betrieben ab einer Größe von 25 Beschäftigten eine Prämie von 1000 €. Im Wahlkampf frohlockt der Bürgermeister: "Wir werden viel Geld aufgrund dieses Gesetzes bekommen, da der durchschnittliche Betrieb in unserer Gemeinde 28,6 Beschäftigte hat!"
   a.) Glaubst du ihm?

   Ein kritische Bürgerin entgegnet: "Die Beschäftigungszahlen in unseren 11 Betrieben betragen: 3, 4, 6, 6, 7, 11, 13, 20, 22, 23, 200. Ich kann Ihre Freude nicht teilen!"
   b.) Warum ist sie anderer Meinung als der Bürgermeister? 

4. Die nebenstehende Graphik zeigt eine Monatsübersicht der Lufttemperatur (in °C) in Mallorca. (Genau genommen handelt es sich für jedes Monat um den Mittelwert der täglichen Tageshöchsttemperaturen.)
   Wie hoch ist die Durchschnittstemperatur?
    
5. Eine Datenliste bestehe aus drei Elementen.
   a.) Gib eine mögliche Datenliste an, für die das arithmetische Mittel 9 ist!
   b.) Gib eine mögliche Datenliste an, für die das arithmetische Mittel -3 ist!
    
6. Die Elemente einer Datenliste heißen: u, X, p. Drücke den Mittelwert durch u, X und p aus!
    
7. Schreibe den Mittelwert für die Datenliste a₁, a₂, a₃, a₄, a5... a_k an!

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl:

	mathe online Minirechner
	JavaCalc

Venedig   

Mittelwertberechnung mit elektronischen Hilfsmitteln (z.B. Voyage, Excel)

In einem Jahr wurden in Venedig folgende Höchst- und Tiefstemperaturen gemessen:

Ermittle

a.) den Mittelwert der Höchsttemperaturen
b.) den Mittelwert der Tiefsttemperaturen

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	GeoGebra (Mittelwert berechnen)
	Voyage/TI 92/TI 89 (Mittelwert berechnen)
Du kannst die obigen Daten auch als Excel-Datei downloaden/öffnen:
	Venedig-Daten
	Excel (Mittelwert berechnen, Video)
	Excel (Mittelwert berechnen, Text/Grafik)

Österreichische Bevölkerung nach Regionen

Mittelwertberechnung für sehr große Datenmengen

Rufe die

 Bevölkerungs-Daten  

in Excel auf und löse die in der Datei gestellten Aufgaben!

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	Excel (Daten sortieren, Video)
	Excel (Daten sortieren, Text/Grafik)
	Excel (Mittelwert berechnen, Video)
	Excel (Mittelwert berechnen, Text/Grafik)

Stirnreihe   

Du kennst bereits eine statistische Kennzahl, das arithmetische Mittel. Daneben gibt es noch andere Möglichkeiten, einen Mittelwert zu suchen:

In Turnen habt ihr sicher schon oft eine Stirnreihe gebildet und euch dazu der Größe nach aufgestellt. Wie würdest du vorgehen, wenn du ohne Maßband und möglichst rasch eine Person auswählen sollst, die den durchschnittlichen Schüler bzw. die durchschnittliche Schülerinnen in Hinblick auf die Körpergröße repräsentiert?

Bleistifte   

Nimm 7 Buntstifte und Bleistifte und lege sie vor dich hin. Sie sind hoffentlich schon benutzt und haben unterschiedliche Länge! Sortiere sie der Größe nach! Welcher Stift repräsentiert am besten die durchschnittliche Länge der Stifte? Beantworte die Frage ohne Messen und Rechnen!

Vergleiche deine Vorgangsweise mit folgender Festlegung:

Der Median (Zentralwert) ist jener Wert, der genau in der Mitte aller Werte liegt, wenn man sie der Größe nach ordnet.

Anders formuliert:
Höchstens die Hälfte der Werte ist kleiner als der Median (Zentralwert).
Höchstens die Hälfte der Werte ist größer als der Median (Zentralwert).

Bist du auch so vorgegangen?

Diese Zahl wird mit z (Zentralwert) oder mit der Abkürzung med (Median) bezeichnet.

Miss nun die Längen der Stifte ab und schreibe die Werte vom kleinsten zum größten Wert geordnet in deinem Heft auf:

Beschrifte den Median in der Tabelle!

Der kleinste Wert wird Minimum (min) genannt.
Der größte Wert wird Maximum (max) genannt.

Entferne nun einen beliebigen Stift, sodass nur noch 6 Stifte übrig bleiben! Welchen Wert gibst du jetzt als Median an?

Vergleiche deine Überlegung mit folgender Festlegung:

Bei gerader Anzahl von Werten nimmt man des arithmetische Mittel der Nachbarwerte in der Mitte der geordneten Liste.

Fülle die Tabelle aus:

kleinster Wert					größter Wert
		Median

Definition: Median (Zentralwert), Minimum und Maximum   

Der Median (Zentralwert) ist jener Wert, der genau in der Mitte aller Werte liegt, wenn man sie der Größe nach ordnet.

Diese Zahl wird mit z (Zentralwert) oder mit der Abkürzung med (Median) bezeichnet.

Bestimmen des Medians (Zentralwertes):

Bei ungerader Anzahl von Werten nimmt man genau jenen Wert, der in der Mitte der geordneten Liste steht.
Bei gerader Anzahl von Werten nimmt man des arithmetische Mittel der beiden Nachbarwerte in der Mitte der geordneten Liste.

Es gilt daher:
Höchstens die Hälfte der Werte ist kleiner als der Median (Zentralwert).
Höchstens die Hälfte der Werte ist größer als der Median (Zentralwert).

Der kleinste Wert wird Minimum (min) genannt.
Der größte Wert wird Maximum (max) genannt.

Ausreißer   

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 Zentral- und Streuungsmaße

auf und wähle (durch Anklicken) die beiden Einstellungen "Median" und "Mittelwert" aus! Die beiden Begriffe werden dann mit Pfeilen markiert. Stelle außerdem das Beispiel 5 (Ausreißer) ein! Die Zahl der Datenwerte sollte nun 10 betragen.

1. Lies die eingestellten Datenwerte, den Median (Zentralwert, blauer Strich) und den Mittelwert (roter Strich) ab!
2. Welches der beiden Zentralmaße ist größer - der Median oder der Mittelwert?
3. Welcher Datenwert hebt sich von den anderen Werten ab?
   Anmerkung: Einen solchen stark abweichenden Wert nennt man "Ausreißer". Es kann sich dabei zum Beispiel um einen Messfehler handeln.
4. Beobachte nun, wie sich statistische Ausreißer auf die beiden Kenngrößen Median (Zentralwert) und Mittelwert auswirken! Ziehe dazu den Datenpunkt ganz rechts (=Ausreißer) mit gedrückter Maustaste quer über die anderen Datenpunkte ganz nach links! Beschreibe in Worten, was du bei Median und Mittelwert beobachtest!
5. Stelle den Ausreißer so ein, dass Median und Mittelwert gleich groß sind! Notiere die entsprechenden Werte für den "Ausreißer", den Median und den Mittelwert! Würdest du immer noch von einem "Ausreißer" sprechen? Begründe deine Antwort!
6. Welche Kennzahl, Median oder Mittelwert, reagiert stärker auf Ausreißer? Welche Erklärung hast du dafür?

Übungsaufgaben   

1. a) Herr Marek notiert an verschiedenen Tagen die Zeiten (in Minuten), die er für seinen Weg in die Arbeit benötigt:
   55, 56, 51, 56, 49, 58, 55, 56, 56, 50.
   Wie lange benötigt er durchschnittlich? Berechne dazu den Median (Zentralwert) und den Mittelwert und vergleiche die beiden Werte.
   b) Streiche nun den Wert 58 aus der Liste und ersetze ihn durch 70 (wegen einer Baustelle musste Herr Marek einen Umweg in Kauf nehmen).
   Wie lange benötigt er nun im Mittel? Berechne wieder den Median und den Mittelwert. Vergleiche die beiden Werte mit jenen Werten aus a). Was fällt dir auf? Verfasse eine Erklärung für deine Beobachtung!
    
2. Norbert und Sabine vergleichen ihre Schularbeitsnoten des 1.Semesters. Sie wollen ermitteln, wer von ihnen bei den Schularbeiten besser abschnitt.
   Norbert      D: 3, 4, 3      M: 2, 2, 1      E: 2, 3, 2
   Sabine       D: 2, 3, 1      M: 1, 1, 2      E: 5, 5, 4
   Ermittle für beide einzeln den Mittelwert und den Median. Wer war deiner Meinung nach besser? Welchen Wert bzw. welche Werte ziehst du für dein Urteil heran? Warum?
    
3. Gegeben ist folgende Liste von 11 Datenwerten:
   1,0 | 1,2 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | 2,6 | 2,8 | 2,8 | 3,0.
   Wie groß sind Median und Mittelwert?
   Verändere genau einen Datenwert so, dass der Mittelwert kleiner ist als der Median! Gib die geänderten Werte an!
   Für Tüftler: Ändere genau einen Datenwert so, dass Median und Mittelwert gleich groß sind!

Hier ein Werkzeug-Tipp:

	GeoGebra (Statistische Kennzahlen ermitteln)
	Voyage/TI 92/TI 89 (Statistische Kennzahlen ermitteln)

Österreichische Bevölkerung nach Regionen

Rufe die

 Bevölkerungs-Daten  

in Excel auf und löse die in der Datei gestellten Aufgaben!

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	Excel (Daten sortieren, Video)
	Excel (Daten sortieren, Text/Grafik)
	Excel (Median ermitteln, Video)
	Excel (Median ermitteln, Text/Grafik)

Definition: Quartile   

Was du schon weißt: Eine Liste von Datenwerten wird der Größe nach geordnet. Der Median (Zentralwert) teilt diese geordnete Liste der Datenwerte in eine untere und eine obere Teilliste. (Bei einer ungeraden Zahl von Datenwerten entspricht der Median dem mittleren Wert. Beim Teilen in untere und obere Teilliste wird dann dieser Wert nicht berücksichtigt).

Nun werden die beiden Teillisten weiter unterteilt:

• Das untere Quartil (auch: 1.Quartil q1) ist der Median der unteren Teilliste.
• Das obere Quartil (auch: 3.Quartil q3) ist der Median der oberen Teilliste.
• Der Median (Zentralwert) entspricht dann dem mittleren Quartil (auch: 2.Quartil q2).

Die Idee besteht also darin, die Datenwerte in vier Klassen aufzuteilen:

• Ein Viertel der Werte liegt unterhalb des unteren Quartils q1.
• Ein Viertel der Werte liegt zwischen dem unteren Quartil q1 und dem Median.
• Ein Viertel der Werte liegt zwischen dem Medien und dem oberen Quartil q3.
• Ein Viertel der Werte liegt oberhalb des oberen Quartils q3.

Im mittleren Bereich zwischen unterem und oberen Quartil liegen 50% der Datenwerte, die sogenannten "mittleren 50% der Datenwerte".

Beispiel   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Zentral- und Streuungsmaße

auf und wähle (durch Anklicken) die beiden Einstellungen "Median" und "Quartile" aus! Die beiden Begriffe werden dann mit Pfeilen markiert. Stelle außerdem das Beispiel 1 (Median und Quartile) ein! Die Zahl der Datenwerte sollte nun 7 betragen.

1. Lies den Median (Zentralwert) in der Anzeige ab! Schreibe die eingestellten Datenwerte geordnet auf und markiere den Median!
2. Welche Datenwerte gehören nun zur unteren Teilliste? (Beachte: Der Median zählt nicht mit!) Bestimme nun in dieser Teilliste wieder den Median! Dieser Wert ist das untere Quartil oder das 1.Quartil q1. Der Wert sollte mit dem linken Wert in der Anzeige übereinstimmen. Die Quartile sind durch senkrechte grüne Linien dargestellt.
3. Welche Datenwerte gehören zur oberen Teilliste? Der Median zählt wieder nicht mit. Bestimme abermals den Median dieser Teilliste! Du erhältst so das obere Quartil oder 3.Quartil q3. Der Wert sollte mit dem rechten Wert in der Anzeige übereinstimmen.
4. Ziehe den größten Datenwert (3,3 ganz rechts) nach links und beobachte, wann sich die Werte für oberes Quartil, Median und unteres Quartil ändern! Notiere deine Antwort!
5. Wähle nun Beispiel 2 (Median und Quartile) aus! Notiere die angezeigten Datenwerte und ermittle händisch Median, unteres und oberes Quartil! Vergleiche dein Ergebnis mit den Werten in der Anzeige!

Übungsaufgaben   

1. Herr Marek notiert an verschiedenen Tagen die Zeiten (in Minuten), die er für seinen Weg in die Arbeit benötigt:
   55, 56, 51, 56, 25, 58, 55, 56, 56, 50, 52.
   a) Berechne den Median (Zentralwert). Formuliere einen Satz, der ausdrückt, was der Wert des Medians in diesem Beispiel bedeutet!
   b) Ermittle das Minimum und das Maximum, das untere und obere Quartil!
   c) Herr Marek vertraut dem kleinsten Wert nicht und streicht ihn aus der Liste. Ermittle Median und Quartile der neuen Datenliste! Vergleiche die neuen Werte mit den Werten der ersten Liste und beschreibe deine Beobachtungen! Hast du eine Erklärung dafür?
   d) Kannst du einen möglichen Grund nennen, warum Herr Marek den kleinsten Wert aus der Liste für unwahrscheinlich hält? Worauf könnte der Wert zurückzuführen sein?
    
2. Gegeben ist folgende Liste von 12 Datenwerten:
   1,0 | 1,2 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | 2,6 | 2,8 | 2,8 | 3,0 | 1,4
   Wie groß sind Median und Mittelwert?
   Verändere genau einen Datenwert so, dass der Mittelwert kleiner ist als der Median. Gib die geänderten Werte an!
   Für Tüftler: Ändere genau einen Datenwert so, dass Median und Mittelwert gleich groß sind!
    
3. Die Auswertung der Körpermassen von 100 Katzen ergab folgende Ergebnisse:
    
   • Die leichteste Katze wog 1,2 kg, die schwerste Katze 4,2 kg.
   • 50% der Katzen waren leichter als 3,1 kg und 50% waren schwerer als 3,1 kg.
   • Die mittlere Hälfte der Katzen wog zwischen 2,5 kg und 3,5 kg.
   • Ein Viertel der Katzen wog mindestens 1,2 kg und höchstens 2,5 kg.
   • 25 Katzen brachten mindestens 3,5 kg und höchstens 4,2 kg auf die Waage.
      
   Beantworte mithilfe dieser Aussagen folgende Fragen:
   
   a) Welchen Wert hat der Median (Zentralwert)?
   b) Wie groß sind Minimum und Maximum der erhobenen Werte?
   c) Wie groß sind unteres und oberes Quartil?
   d) Wie viele Katzen waren leichter als 3,1 kg?
   e) Wie viele Katzen waren schwerer als 2,5 kg?
   f) Es sind nicht alle der oben angeführten Sätze notwendig, um Minimum, Maximum, Median und Quartile eindeutig bestimmen zu können. Verringere die oben angeführten Sätze soweit wie möglich!

Hier ein Werkzeug-Tipp:

	GeoGebra (Quartile ermitteln)
	Voyage/TI 92/TI 89 (Quartile ermitteln)

Österreichische Bevölkerung nach Regionen

Rufe die

 Bevölkerungs-Daten  

in Excel auf und löse die in der Datei gestellten Aufgaben!

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	Excel (Daten sortieren, Video)
	Excel (Daten sortieren, Text/Grafik)
	Excel (Quartile ermitteln, Video)
	Excel (Quartile ermitteln, Text/Grafik)

BoxPlot zeichnen   

Ein BoxPlot (Kastenschaubild) ist ein Diagramm, das von einer Datenliste lediglich das Minimum, das Maximum, den Median, das untere und das obere Quartil zeigt.

Anhand eines Beispiels: Am 03.04.2000 wurden an verschiedenen Orten die Tageshöchstwerte gemessen und ausgewertet.

• Die gemessenen Werte liegen zwischen min = 11° und max = 18° C.
• In 50% der Orte liegt der Tageshöchstwert zwischen q1 = 12° und q3 = 16° C.
• 25% der Werte liegen zwischen min = 11° und q1 = 12° C.
• In einem Viertel der Orte liegt der Tageshöchstwert zwischen q1 = 12° und med = 15° C.
• 25% der erhobenen Daten liegen zwischen q3 = 16° und max = 18° C.

Arbeitsschritte zum Erstellen des Boxplots:

	Skala zeichnen
	Werte für den Kasten in der Skala eintragen
	Kasten zeichnen
	Begrenzungswerte in der Skala eintragen
	Schaubild fertig stellen

Hier ein paar Werkzeug-Tipps:

	GeoGebra (BoxPlot zeichnen)
	Excel (BoxPlot zeichnen)
	Voyage/TI 92/TI 89 (BoxPlot zeichnen)

Beispiel A   

Schülerinnen gaben bei einer Befragung an, wie viele Tage sie in den Sommerferien auf Urlaub waren. Die Auswertung ergab folgende Werte:

  min = 0 Tage
  max = 60 Tage
  med = 20 Tage
  q1 = 10 Tage
  q3 = 25 Tage

Zeichne zu diesem Beispiel einen Boxplot! Nimm auf der Skala 2 mm für 1 Tag!

Beispiel B   

100 ausgewachsene Katzen wurden gewogen. Die Auswertung ergab folgenden Boxplot:

1. Fülle (unten stehenden) den Lückentext aus!
2. Tausche ihn mit jemandem aus, der das Beispiel C bearbeitet hat!
3. Zeichne zum erhaltenen Text den Boxplot!
4. Tauscht die Texte mit dem gezeichneten Schaubild wieder aus!
5. Vergleiche das erhaltene Schaubild mit dem eigenen!
6. Falls es nicht übereinstimmt, versuche herauszufinden, wo der Fehler liegt!

Lückentext:

100 ausgewachsene Katzen wurden gewogen. Die Auswertung ergab Folgendes:

Die Hälfte der leichtgewichtigen Katzen wiegt zwischen ............... und ................. kg.

Die 25 schwersten Katzen wiegen von ............... bis ............... kg.

25% der leichtesten Katzen wiegen unter ............... kg.

Beispiel C   

100 Schüler einer Sportschule wurden nach ihrem Zeitaufwand (in Minuten) für ihre sportliche Betätigung pro Woche befragt.
Die Auswertung ergab folgenden Boxplot:

1. Fülle den (unten stehenden) Lückentext aus!
2. Tausche ihn mit jemandem aus, der das Beispiel B bearbeitet hat!
3. Zeichne zum erhaltenen Text den Boxplot!
4. Tauscht die Texte mit dem gezeichneten Schaubild wieder aus!
5. Vergleiche das erhaltene Schaubild mit dem eigenen!
6. Falls es nicht übereinstimmt, versuche herauszufinden, wo der Fehler liegt!

Lückentext:

100 Schüler einer Sportschule wurden nach ihrem Zeitaufwand (in Minuten) für ihre sportliche Betätigung pro Woche befragt.
Die Auswertung ergab Folgendes:

Die 25% der eifrigsten Sportler trainieren mehr als ................ Minuten.

Die Hälfte der Sportler mit hoher Trainingszeit wendet zwischen ................ und ................ Minuten für die Sportausübung auf.

Die 25 Sportler mit der geringsten Trainingszeit trainieren von ............... bis ................ Minuten.

Beispiel D   

Erkläre anhand der folgenden Zeichnungen, wie ein Boxplot gezeichnet wird! Beschreibe in eigenen Worten, was aus dem fertigen Boxplot abgelesen werden kann!

Übungsaufgaben   

Bearbeite mindestens eines der folgenden Beispiele am Papier! Verwende für mindestens eines der Beispiel Excel oder einen CAS-Rechner!

1. Herr Marek notiert an verschiedenen Tagen die Zeiten (in Minuten), die er für seinen Weg in die Arbeit benötigt:
   55, 56, 51, 56, 49, 58, 55, 56, 56, 50.
   Zeichne einen Boxplot!
    
2. Hans Heißhunger erkundigt sich in verschiedenen Lokalen, wie viel die angebotenen Mittagsmenüs kosten, und erhält folgende Daten (Preise in Euro):
   5,00 | 4,50 | 5,00 | 5,20 | 6,00 | 4,90 | 4,50 | 5,20 | 8,00 | 4,80 | 4,60 | 5,10 | 5,50 | 5,90.
   Ermittle Minimalwert, Maximalwert, Zentralwert, 1.Quartil und 3.Quartil!
   Zeichne einen Boxplot!
   In welchem Preisintervall liegen 50% aller Menüpreise der mittleren Preiskategorie?
    
3. Gegeben ist folgende Liste von 12 Datenwerten:
    1,0 | 1,2 | 1,6 | 1,6 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | 2,6 | 2,8 | 2,8 | 3,0 | 1,4
   Erstelle einen Boxplot und gib die Kenngrößen Minimum, Maximum, Median, unteres Quartil und oberes Quartil an!

Interpretations- und Vergleichsaufgaben   

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 Box-Plots

auf! Gib in das linke Textfeld oberhalb der Skala als untere Grenze für die Datenwerte 0 ein und in das rechte Textfeld den Wert 50. Wenn du die Daten in den drei Datenfeldern händisch eingibst, trenne die Zahlenwerte durch Leerzeichen! Verwende keine Beistriche! Mit dem Plot-Schalter werden die Boxplots gezeichnet.

3 SchülerInnen führen eine Befragung zur Höhe des Taschengeldes in drei verschiedenen Orten durch. Sie geben ihre Datenwerte an:

Ort A (Datensatz 1): 5 10 15 20 35 20 45 30 25 20 10 10 20 10 5 15 20 10
Ort B (Datensatz 2): 15 0 10 5 5 25 30 40 30 15 25 50
Ort C (Datensatz 3): 5 10 20 25 20 10 25 20 25 30 20 25

Beantworte folgende Fragen mithilfe der grafischen Darstellung im obigen Tool (du kannst die Daten durch Kopieren und Einfügen übertragen) und drücke deine Überlegungen schriftlich aus! Vielleicht sind auch verschiedene Antworten möglich.

1. Lies für jeden Ort die Kenngrößen Minimum, Maximum, Median, unteres und oberes Quartil ab!
2. In welchem Ort sind die Unterschiede beim Taschengeld am geringsten? In welchem Ort sind sie am größten?
3. In welchem Ort bekommen die Kinder am wenigsten Taschengeld?In welchem Ort wird am meisten Taschengeld bezahlt?
4. In welchem Ort ist der Unterschied bei den mittleren 50% am größten?
5. In welchem Ort gibt es im dritten Viertel die geringsten Unterschiede?

  Lösung des Boxplots

Film

Ein weiteres Maß für die Streuung ist die Standardabweichung. Sieh (und höre) dir den Film-Clip

 Mittelwert und Standardabweichung

an!

Definition: Standardabweichung   

Neben der Spannweite und dem Quartilsabstand zwischen unterem und oberem Quartil stellt die Standardabweichung ein weiteres Maß für die Streuung dar. Sie gibt an, wie stark die Datenwerte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.

• Um sie zu ermitteln, berechnest du zunächst für jeden Datenwert den Unterschied zum Mittelwert.
• Die Unterschiede werden einzeln quadriert.
• Anschließend wird aus den quadrierten Unterschieden die Summe berechnet.
• Die Summe wird durch die Anzahl n der Datenwerte dividiert.
• Aus dem Ergebnis wird abschließend die Wurzel gezogen.

Vorgangsweise für vier Datenwerte a, b, c und d mit Mittelwert m:

• Unterschiede berechnen: (a - m), (b - m), (c - m ), (d - m)
• Quadrieren: (a - m)², (b - m)², (c - m)², (d - m)²
• Summe bilden: (a - m)² + (b - m)² + (c - m)² + (d - m)²
• Division durch 4:
  (a - m)² + (b - m)² + (c - m)² + (d - m)²
                              4
• Durch Ziehen der Quadratwurzel erhältst du die Standardabweichung s:
  
  
  

Die Standardabweichung wird als Abweichung links und rechts vom Mittelwert eingezeichnet:

Im Bereich der Standardabweichung liegen in der Regel ungefähr 2/3 der Datenwerte.

Für n Datenwerte x₁, x₂, … x_n mit Mittelwert m lautet die Formel:

Beachte: Die Standardabweichung wird auch manchmal mit dem Buchstaben s  bezeichnet.

Streuung   

Rufe die Flash-Lernhilfe

 Zentral- und Streuungsmaße

auf und wähle durch Anklicken "Mittelwert" und "Standardabweichung" aus. Die beiden Begriffe werden mit Pfeilen markiert! Stelle außerdem das Beispiel 4 (Zufallsgenerator) ein! Die Zahl der Datenwerte sollte nun 20 betragen.

1. Ein Zufallsgenerator würfelt Datenwerte, wie sie auch in der Realität häufig vorkommen. Zähle ab, wie viel Prozent der Daten vom Mittelwert nicht weiter entfernt sind als eine Standardabweichung! Wenn du noch einmal "Beispiel 4 (Zufallsgenerator)" wählst, wird erneut gewürfelt. Wiederhole diese Übung mehrere Male, indem du das Beispiel 4 immer wieder neu auswählst! Fällt dir eine (ungefähre) Gesetzmäßigkeit auf?
    
2. Wähle nun im unteren Drop-Down-Menü "Beispiel 4 (Zufallsgenerator)" und als Ansichten "Quartile" und "Standardabweichung"!
   Vergleiche den Bereich der Standardabweichung (grau) mit dem Quartilsabstand zwischen unterem und oberen Quartil (grün)!
   Ist der (grüne) Bereich zwischen den Quartilen oder der durch die Standardabweichung definierte (graue) Bereich größer? Wiederhole diese Übung mehrere Male! Warum ist meistens der graue Bereich größer?
    
3. Wähle im unteren Drop-Down-Menü "Beispiel 5 (Ausreißer)" und studiere, wie sich "Ausreißer" (d.h. stark abweichende Datenwerte, die möglicherweise auf Messfehler zurückgehen) auf die Standardabweichung auswirken! Ziehe dazu den Ausreißer (ganz rechts bei 3.8) mit der Maus quer über die Daten bis ganz nach links! Beobachte und erkläre, wie sich die Standardabweichung dabei ändert. Wie empfindlich ist sie gegenüber Ausreißern?

Benutze ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	GeoGebra (Standardabweichung ermitteln)
	Excel (Standardabweichung ermitteln)
	Voyage/TI 92/TI 89 (Standardabweichung ermitteln)

Routenwahl   

Herr Strasser fährt täglich mit seinem Auto von seiner Wohnung zu seinem Arbeitsplatz. Seine Fahrzeiten an verschiedenen Tagen findest du in den folgenden Tabellen. Berechne die mittlere Fahrzeit und die Standardabweichung!

Route A:

Route B:

Vergleiche die beiden Ergebnisse! Welche Route würdest du Herrn Strasser empfehlen? Schreibe einen kurzen Brief mit deinen Argumenten an Herrn Strasser! Benutze ein Werkzeug deiner Wahl! Hier ein paar Tipps:

	GeoGebra (Standardabweichung ermitteln)
	Excel (Standardabweichung ermitteln)
	Voyage/TI 92/TI 89 (Standardabweichung ermitteln)